Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

(3)設(shè)直線y＝mx＋1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線L經(jīng)過(guò)M(－2，0)及AB的中點(diǎn)，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y＝kx，即kx－y＝0 　　∵該直線與圓相切， 　　∴雙曲線C的兩條漸近線方程為　　　　　　　　　　　　　　2分 　　故設(shè)雙曲線C的方程為，又∵雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為 　　∴，∴雙曲線C的方程為　　　　　　　　　4分 　　(2)若Q在雙曲線的右支上，則延長(zhǎng)QF2到T，使|QT|＝|OF1| 　　若Q在雙曲線的左支上，則在QF2上取一點(diǎn)T，使|QT|＝|QF1| 　　根據(jù)雙曲線的定義|TF2|＝2，所以點(diǎn)T在以F2為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)T的軌跡方程是①　　　　　　　　　　6分 　　由于點(diǎn)N是線段F1T的中點(diǎn)，設(shè)N(x，y)，T() 　　則 　　代入①并整理得點(diǎn)N的軌跡方程為　　　　　　8分 　　(3)由 　　令 　　直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程上有兩個(gè)不等實(shí)根． 　　因此　　　　　　　　　　　　　　　10分 　　又AB中點(diǎn)為 　　∴直線L的方程為　　　　　　　　　　　　12分 　　令x＝0，得 　　∵∴ 　　∴故b的取值范圍是　　　　　　　　　14分