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        1. 【題目】(本小題滿分16分)

          已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1Sn=n2ann∈N*.

          1)試求出S1,S2S3,S4,并猜想Sn的表達式;

          2)用數(shù)學納法證明你的猜想,并求出an的表達式.

          【答案】1)解 ∵an=Sn-Sn-1n≥2

          ∴Sn=n2Sn-Sn-1),∴Sn=Sn-1n≥2

          ∵a1=1∴S1=a1=1.

          ∴S2=,S3==S4=, ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6

          猜想Sn=n∈N*. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7

          2)證明 n=1時,S1=1成立.

          假設n=kk≥1,k∈N*)時,等式成立,即Sk=,

          n=k+1時,

          Sk+1=k+12·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+,

          ∴ak+1=,

          ∴Sk+1=k+12·ak+1==

          ∴n=k+1時等式也成立,得證.

          根據(jù)可知,對于任意n∈N*,等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13

          ∵ak+1=,∴an=. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄15

          【解析】

          (1)根據(jù)數(shù)列中的關系式,得到,進而由,即可分別求解得值,歸納猜想的表達式;

          (2)用數(shù)學歸納法作出證明:第一步,先證明時,結論成立,第二步,假設時成立,證明時也成立,即可得到結論成立

          解:(1)因為an=Sn-Sn1(n≥2)

          所以Sn=n2(Sn-Sn1),所以SnSn1(n≥2)

          因為a1=1,所以S1=a1=1.

          所以S2,S3,S4

          猜想Sn (nN*).

          (2)①當n=1時,S1=1成立.

          ②假設n=k(k≥1,kN*)時,等式成立,即Sk,

          n=k+1時,

          Sk1=(k+1)2·ak1=ak1+Sk=ak1,

          所以ak1,

          所以Sk1=(k+1)2·ak1.

          所以n=k+1時等式也成立,得證.

          所以根據(jù)①、②可知,對于任意nN*,等式均成立.

          Sn=n2an,得=n2an,所以an.

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          類別

          鐵觀音

          龍井

          金駿眉

          大紅袍

          顧客數(shù)(人)

          20

          30

          40

          10

          時間t(分鐘/人)

          2

          3

          4

          6

          注:服務員在準備泡茶工具時的間隔時間忽略不計,并將頻率視為概率.
          (1)求服務員恰好在第6分鐘開始準備第三位顧客的泡茶工具的概率;
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          x

          15.0

          25.58

          30.0

          36.6

          44.4

          y

          39.4

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          42.9

          43.1

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