Question

已知函數(shù)f（x）=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入f（x）中確定出解析式，把x=2代入求出的解析式中得到f（2）的值，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=2代入導(dǎo)函數(shù)即可求出切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫(xiě)出切線方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，由a大于0判斷出求出的x的值的大小，由x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，根據(jù)函數(shù)的增減性，得到函數(shù)的極小值和極大值，由f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)極大值大于0，得到極小值小于0，列出關(guān)于a的不等式求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x3-

3

2

x2+1，f(2)=3；
得到f′（x）=3x²-3x，
則f′（2）=6，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為：y-3=6（x-2），即y=6x-9；
（Ⅱ）f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=

1

a

，
因a＞0，則0＜

1

a

．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況如表：

X	（-∞，0）	0	(0， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
F’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

又f（0）=1，f(

1

a

)=1-

1

2a2

，
若要f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，只需f(

1

a

)=1-

1

2a2

＜0即可，
解得a2＜

1

2

，又a＞0．
因此0＜a＜

2

2

．
故所求a的取值范圍為{a|0＜a＜

2

2

}．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，掌握函數(shù)零點(diǎn)的判斷定理，是一道中檔題．