Question

由9個(gè)正數(shù)組成的數(shù)陣

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

每行中的三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數(shù)列．給出下列結(jié)論：
①第二列中的a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比數(shù)列；
②第一列中的a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比數(shù)列；
③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；
④若9個(gè)數(shù)之和大于81，則a₂₂＞9．
其中正確的序號(hào)有

①②③

．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

分析：先由題意設(shè)列出由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣是：

a a+d a+2d b b+m b+2m c c+n c+2n

，由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數(shù)列，則有：（b+m）²=（a+d）（c+n），得出①正確；再由（a+d）+（c+n）≥2

(a+d)(c+n)

得到③正確；再根據(jù)題設(shè)列舉出由9個(gè)正數(shù)組成的特殊矩陣判斷②正確即可．通過(guò)舉反例可得④不正確．

解答：解：由題意設(shè)由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣是：

a a+d a+2d b b+m b+2m c c+n c+2n

，由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比數(shù)列，則有：（b+m）²=（a+d）（c+n），故①正確．
由于（a+d）+（c+n）≥2

(a+d)(c+n)

=2（b+m），故③正確．
再題意設(shè)由9個(gè)正數(shù)組成的矩陣是：

1 2 1 3 2 1 1 1 1 2 1 3 2

 故②正確．
對(duì)于④，若9個(gè)數(shù)之和大于81，即3（a+d+b+m+c+n）＞81，∴b+m+a+d+c+n＞27，但不能推出 b+m＞9．
如當(dāng)a+d=3，b+m=9，c+n=27 時(shí)，a₂₂=b+m=9，故④不正確．
綜上可得，正確的序號(hào)有①②③，
故答案為 ①②③．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)、三階矩陣等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．