Question

已知b＞-1，c＞0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x²+bx+c的圖象相切．
（Ⅰ）求b與c的關(guān)系式（用c表示b）；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）g（x），
（ⅰ）當(dāng)c=4時(shí)，在函數(shù)F（x）的圖象上是否存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得F（x）在點(diǎn)M的切線斜率為

b

3

，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（ⅱ）若函數(shù)F（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有極值點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，令f′(x)=g′(x)，得x=

1-b

2

，因?yàn)閒(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，進(jìn)而得到b與c的關(guān)系式．
（Ⅱ）（ⅰ）當(dāng)c=4時(shí)，則b=3，得F′（x）=3x²+12x+13，若存在滿足條件的點(diǎn)M，則F′（x）=1，進(jìn)而得到答案．
（ⅱ）令F′（x）=0，得△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c），若△=0，則F′（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，根據(jù)列表可得x=x₀不是函數(shù)F（x）的極值點(diǎn)．若△＞0，則F′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂），根據(jù)列表可得x=x₁是函數(shù)F（x）的極大值點(diǎn)，x=x₂是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)．進(jìn)而解出答案．

解答：解：（Ⅰ）依題意，令f′(x)=g′(x)，得2x+b=1，故x=

1-b

2

．由于f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，得(b+1)2=4c．
∵b＞-1，c＞0，
∴b=-1+2

c

．
（Ⅱ）由題意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
（�。┊�(dāng)c=4時(shí)，則b=3，
所以F（x）=f（x）g（x）=x³+6x²+13x+12，所以F′（x）=3x²+12x+13，
若存在滿足條件的點(diǎn)M，則有：F′（x）=3x²+12x+13=1，
解得：x=-2，y=2，
所以這樣的點(diǎn)M存在，且坐標(biāo)為（-2，2）．
（ⅱ）由題意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
令F′（x）=0，即3x²+4bx+b²+c=0；所以△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c），
若△=0，則F′（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，設(shè)為x₀，此時(shí)F′（x）的變化如下：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，+∞）
F′（x）	+	0	+

于是x=x₀不是函數(shù)F（x）的極值點(diǎn)．
若△＞0，則F′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂）且F′（x）的變化如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
F′（x）	+	0	-	0	+

由此，x=x₁是函數(shù)F（x）的極大值點(diǎn)，x=x₂是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)△＞0時(shí)，函數(shù)F（x）在（-∞，+∞）上有極值點(diǎn).

由△=4(b2-3c)＞0得b＜- 3c 或b＞ 3c

．∵b=-1+2

c

，
∴-1+2

c

＜

3c

或-1+2

c

＞

3c

.

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并且熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)解決極值與單調(diào)性問題．