Question

在平面直角坐標系xOy中，設橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下頂點為S，T點E在橢圓上且異于S，T兩點，直線SE與TE的斜率之積為-4O為坐標原點
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓以F₁（0，-

3

）和F₂（0，

3

）為焦點，設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x軸，y軸的交點分別為A，B，且向量

OM

=

OA

+

OB

求：點M的軌跡方程及|OM|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用直線SE與TE的斜率之積為-4，建立方程，結合E在橢圓上，即可求得離心率；
（2）利用相關點法求軌跡方程，|OM|用含點M的坐標的函數(shù)來表示，再利用基本不等式求此函數(shù)的最小值即可．

解答：解：（1）設E（x₀，y₀），由S（0，a），T（0，-a），直線SE與TE的斜率之積為-4，可得

y0-a

x0

•

y0+a

x0

=-4
∴y02-a2=-4x02
∵

y02

a2

+

x02

b2

=1，∴-

a2

b2

•x02=-4x02
∵x₀≠0，∴

a2

b2

=4，∴e2=

3

4

，∴e=

3

2

；
（2）由（1）c=

3

，a=2，∴b=1，∴曲線C的方程為：x2+

y2

4

=1（x＞0，y＞0），即y=2

1-x2

（0＜x＜1）
∴y′=-

2x

1-x2

設P（x₀，y₀），因P在C上，有0＜x₀＜1，y₀=2

1-x02

∴切線AB的方程為：y=-

4x0

y0

（x-x₀）+y₀．
設A（x，0）和B（0，y），由切線方程得x=

1

x0

，y=

4

y0

∵

OM

=

OA

+

OB

，∴得M的坐標為（x，y），由x₀，y₀滿足C的方程，得點M的軌跡方程為：

1

x2

+

4

y2

=1（x＞1，y＞2）
∵|

OM

|²=x²+y²，y²=4+

4

x2-1

，∴|

OM

|²=x²-1+

4

x2-1

+5≥4+5=9．
當且僅當x²-1=

4

x2-1

，即x=

3

＞1時，上式取等號．
∴|OM|的最小值為3．

點評：本題考查橢圓的離心率，考查軌跡方程的求解，考查基本不等式的運用，表示出|OM|是關鍵．