Question

（2000•上海）如圖所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點，異面直線AD與BE所成的角的大小為arccos

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，求四面體ABCD的體積．

Answer 1

分析：建立如圖所示坐標系，得A、B、C、D各點的坐標，利用向量數(shù)量積的公式結(jié)合AD、BE所成角為arccos

10

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，解出BD的長度是4，最后運用錐體的體積公式即可算出四面體ABCD的體積．

解答：解：以BC、BA、BD為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，…（2分）
由題意得A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）
設(shè)D點的坐標為（0，0，z）（z＞0），
則

BE

=(1，1，0)，

AD

=(0，-2，z)…（6分）
∴

AD

•

BE

=

2

•

4+z2

cosθ=-2，
∵AD與BE所成的角的大小為arccos

10

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，可得cos2θ=

2

4+z2

=

1

10

，
∴代入上式，解之得z=4，即BD的長度是4，…（10分）
因此，三棱錐D-ABC的體積
VD-ABC=

1

3

S△ABC•BD=

1

6

AB•BC•BD=

1

6

×2×2×4=

8

3

，
即四面體ABCD的體積是

8

3

，…（12分）

點評：本題給出特殊三棱錐，在已知異面直線所成角的基礎(chǔ)之上求錐體的體積．著重考查了利用空間坐標系的方法研究異面直線所成角和錐體的體積公式等知識，屬于中檔題．