Question

（2009•虹口區(qū)一模）定義在R上的函數(shù)f（x+2）+f（x）=0，且y=f（x-1）是奇函數(shù)，給出下列命題：①函數(shù)y=f（x）的最小正周期是2；②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．其中真命題是

②③

（填入命題的編號(hào)）．

Answer 1

分析：由f（x+2）+f（x）=0可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），則該函數(shù)的周期為T(mén)=4，又有函數(shù)f（x-1）為奇函數(shù)，說(shuō)明函數(shù)f（x）應(yīng)該有對(duì)稱(chēng)中心（-1，0），即f（-2-x）=-f（x）符合點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的定義從而可求解．

解答：解：由f（x+2）+f（x）=0，即f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），函數(shù)f（x）的周期T=4，所以①錯(cuò)；
  又∵函數(shù)f（x-1）為奇函數(shù)，即函數(shù)f（x）向右移一個(gè)單位以后關(guān)于（0，0）對(duì)稱(chēng)，∴平移之前的圖象應(yīng)該關(guān)于（-1，0）對(duì)稱(chēng)，故②正確；
∵f（x+2）=-f（x）且f（x-1）=y為奇函數(shù)，
∴f（x+2）=-f（x），f（-x-1）=-f（x-1）=-f（x+1），

點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)的周期定義及利用定義求函數(shù)的周期，還考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)及與圖象的平移變換，還考查了復(fù)合函數(shù)的奇函數(shù)的定義式．，通過(guò)抽象函數(shù)中一些主條件的變形，來(lái)考查函數(shù)有關(guān)性質(zhì)，方法往往是緊扣性質(zhì)