Question

下列命題
①若兩直線平行，則兩直線斜率相等．
②動(dòng)點(diǎn)M至兩定點(diǎn)A，B的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1）．則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓．
③若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=

2

2

，則b=c（c為半焦距）．
④雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b．
⑤方程mx²+ny²=1表示的曲線可以是直線、圓、橢圓、雙曲線．
其中正確命題的序號(hào)是

②③④⑤

．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：對(duì)于①，當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，不正確；對(duì)于②，通過(guò)建立坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程判斷出正確；利用橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系判斷出③對(duì)；對(duì)于④，據(jù)雙曲線的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷出正確；對(duì)于⑤，根據(jù)m，n的不同情況，及圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，可判斷正確．

解答：解：若兩直線平行，且均與x軸垂直，則兩條直線的斜率均不存在，故①不正確；
對(duì)于②，以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)M（x，y），A（-a，0），B（a，0），則有

y2+(x+a)2

=λ

y2+(x-a)2

，化簡(jiǎn)得（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+（2a+2aλ²）x+a²-a²λ²=0，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓，正確
對(duì)于③，e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

，所以a²=2c²，所以橢圓中有b²=a²-c²=c²，所以b=c，所以③對(duì)；
對(duì)于④，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c，0），漸近線的方程為：y=±

b

a

x，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到距離d=

bc

a2+b2

=b．所以④正確；
對(duì)于⑤，當(dāng)m=0，n＞0時(shí)，方程mx²+ny²=1表示的曲線為兩條相交的直線；當(dāng)m=n＞0時(shí)，方程mx²+ny²=1表示的曲線為圓；當(dāng)m≠n＞0時(shí)，方程mx²+ny²=1表示的曲線為橢圓；當(dāng)m，n異號(hào)時(shí)，方程mx²+ny²=1表示的曲線為雙曲線，故⑤正確；
故答案為：②③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用曲線的方程判斷曲線的形狀；考查橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系；考查雙曲線中漸近線的方程，屬于一道綜合題．