Question

（2012•黃浦區(qū)一模）已知a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=1，a₂=-6a，an+1=6an-9an-1(n≥2，n∈N*)，bn=an+1-ban(n∈N*)．
（1）求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）若{c_n}滿足c₁=1，c₂=5，cn+2=5cn+1-6cn(n∈N*)，試用數(shù)學(xué)歸納法證明：cn +acn-1=

an

3n-2

(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）通過已知條件求出a，b利用bn=an+1-ban(n∈N*)，通過等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（3）若{c_n}滿足c₁=1，c₂=5，cn+2=5cn+1-6cn(n∈N*)，直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證明：cn +acn-1=

an

3n-2

(n≥2，n∈N*)．

解答：證明（1）∵a＜b，a²-a-6=0，b²-b-6=0，
∴a=-2，b=3，a₂=12．
∵an+1=6an-9an-1(n≥2，n∈N*)，bn=an+1-ban(n∈N*)，
∴b_n+1=a_n+2-3a_n+1
=6a_n+1-9a_n+1-3a_n+1
=3（a_n+1-3a_n）
=3b_n （n∈N^*）．
又b₁=a₂-3a₁=9，
∴數(shù)列{b_n}是公比為3，首項(xiàng)為b₁的等比數(shù)列．
（2）依據(jù)（1）可以，得b_n=3ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
于是，有a_n+1-3a_n=3ⁿ⁺¹（n∈N^*），即

an+1

3n+1

-

an

3n

=1，（n∈N^*）．
因此，數(shù)列{

an

3n

}是首項(xiàng)為

a1

31

=

1

3

，公差為1的等差數(shù)列．
故

an

3n

=

1

3

+(n-1)•1．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=（3n-2）•3^n-1（n∈N^*）．
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：cn +acn-1=

an

3n-2

(n≥2，n∈N*)
（i）當(dāng)n=2時(shí)，左邊：c_n+ac_n-1=c₂-2c₁=3，
右邊：

an

3n-2

=

(3×2-2)•32-1

3×2-2

=3，
即左邊=右邊，所以當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立．
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k．（k≥2，k∈N^*）時(shí)，結(jié)論成立，即ck +ack-1=

ak

3k-2

(k≥2，k∈N*)．
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=c_k+1+ac_k
=5c_k-6c_k-1-2c_k
=3（c_k-2c_k-1）=3•

ak

3k-2

=3k，
右邊=

ak+1

3(k+1)-2

=

(3(k+1)-2)•3k

3(k+1)-2

=3k．
即左邊=右邊，因此，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
根據(jù)（i）、（ii）可以斷定，
c_n+ac_n-1=

an

3n-2

對n≥2的正整數(shù)都成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，等比關(guān)系的確定，數(shù)列遞推式考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．