Question

【題目】點(diǎn)A(0,2)是圓x2＋y2＝16內(nèi)的定點(diǎn)，B，C是這個圓上的兩個動點(diǎn)，若BA⊥CA，求BC中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么曲線．

Answer 1

【答案】所求軌跡為以(0,1)為圓心，以 為半徑的圓

【解析】試題分析：根據(jù)垂徑定理得|MB|2＝|OB|2－|OM|2，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半性質(zhì)得|MA|＝|MB|，即得|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，最后設(shè)坐標(biāo)代入化簡即得軌跡方程，根據(jù)軌跡方程說明曲線形狀

試題解析：設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因為M是弦BC的中點(diǎn)，故OM⊥BC.

又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝|BC|＝|MB|.

∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，

∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化簡為x2＋y2－2y－6＝0，

即x2＋(y－1)2＝7.

∴所求軌跡為以(0,1)為圓心，以為半徑的圓．