Question

如圖，兩座建筑物的底部都在同一個(gè)水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9和15，從建筑物的頂部看建筑物的視角.

⑴求的長(zhǎng)度；
⑵在線(xiàn)段上取一點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)不重合），從點(diǎn)看這兩座建筑物的視角分別為問(wèn)點(diǎn)在何處時(shí)，最小？

Answer 1

⑴;⑵當(dāng)為時(shí)，取得最小值．

試題分析：⑴根據(jù)題中圖形和條件不難想到作，垂足為，則可題中所有條件集中到兩個(gè)直角三角形中，由，而在中，再由兩角和的正切公式即可求出的值，又，可求出的值;⑵由題意易得在兩直角三角形中，可得，再由兩角和的正切公式可求出的表達(dá)式，由函數(shù)的特征，可通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而求出的最小值，即可確定出的最小值．
試題解析：⑴作，垂足為，則，，設(shè)，
則       2分
，化簡(jiǎn)得，解之得，或（舍）
答：的長(zhǎng)度為．                        6分
⑵設(shè)，則，
．         8分
設(shè)，，令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031341173476.png" style="vertical-align:middle;" />，得，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)　　　　　　時(shí)，，是增函數(shù)，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值，   12分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031341422692.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立，所以，所以，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031341469524.png" style="vertical-align:middle;" />在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．
答：當(dāng)為時(shí)，取得最小值．            14分