Question

定義：離心率的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓的一個焦點為F（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）沒E為黃金橢圓，問：是否存在過點F、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
（3）已知橢圓E的短軸長是2，點S（0，2），求使取最大值時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）假設(shè)E為黃金橢圓，則，即…（1分）
∴b²=a²-c²
=
=
=ac．…（3分）
即a，b，c成等比數(shù)列，與已知矛盾，
故橢圓E一定不是“黃金橢圓”．…（4分）
（2）依題假設(shè)直線l的方程為y=k（x-c），
令x=0，y=-kc，即點R的坐標(biāo)為（0，-kc），
∵，點F（c，0），
∴點P的坐標(biāo)為（2c，kc）…（6分）
∴點P在橢圓上，
∴．
∵b²=ac，∴4e²+k²e=1，
故，與k²≥0矛盾．
所以，滿足題意的直線不存在．…（9分）
（3）依題有b²=1，由點P（x₁，y₁）在E上知x₁²=a²（1-y₁²），
∴=x₁²+（y₁-2）²
=（1-a²）y₁²-4y₁+（a²+4）
=（1-a²）．
∵a＞1，
∴1-a²＜0，又-1≤y₁≤1，…（11分）
①當(dāng)時，，
∴SP²是y₁∈[-1，1]的減函數(shù)，
故y₁=-1時，SP²取得最大值，此時點P的坐標(biāo)是（0，-1）．
②當(dāng)時，，
∴時，取得最大值，
此時點P的坐標(biāo)是…（14分）
分析：（1）假設(shè)E為黃金橢圓，則，所以b²=a²-c²==ac，與已知矛盾，故橢圓E一定不是“黃金橢圓”．
（2）依題假設(shè)直線l的方程為y=k（x-c），令x=0，y=-kc，即點R的坐標(biāo)為（0，-kc），由，點F（c，0），知點P的坐標(biāo)為（2c，kc），所以點P在橢圓上，由此導(dǎo)出，與k²≥0矛盾．所以，滿足題意的直線不存在．
（3）依題有b²=1，由點P（x₁，y₁）在E上知x₁²=a²（1-y₁²），所以=x₁²+（y₁-2）²=（1-a²）．由此能求出點P的坐標(biāo)．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．