Question

下列命題中，其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，，則f（sinθ）＞f（cosθ）
②△ABC為銳角三角形是tanA+tanB+tanC＞0的充要條件
③若||=||，
④函數(shù)是其對(duì)稱(chēng)中心
⑤命題P：?x∈R，mx²+1≤0，命題q：?x∈R，x²+mx+1＞0，若p∨q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞2．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，可以判斷①的真假；由三角形內(nèi)角的三角函數(shù)的性質(zhì)，可判斷②的真假；同平面向量的性質(zhì)可判斷③的真假；由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性能判斷④的真假；由復(fù)合命題的真假判斷能得到⑤的真假．
解答：解：①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，
則函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，
若，則0＜cosθ＜sinθ＜1，
則f（sinθ）＜f（cosθ），故①為假命題；
②∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的內(nèi)角，故內(nèi)角都是銳角．
反之，當(dāng)△ABC的內(nèi)角都是銳角時(shí)，tanA+tanB+tanC＞0．
故△ABC為銳角三角形是tanA+tanB+tanC＞0的充要條件，故②是真命題；
③∵||=||，∴=，
∴，故③正確；
④設(shè)f（x）的對(duì)稱(chēng)中心是（a，b），有f（x）+f（2a-x）=2b
f（x）+f（2a-x）=+
=（4x²-8ax+2a+2）÷（4x²-8ax-4a-1）
=2b，
∴2a+2+4a+1=0，2b=1
a=-，b=，
∴f（x）的對(duì)稱(chēng)中心是（-，），故④不正確；
⑤∵p∨q為假命題，∴p，q均為假命題，
即￢p：x∈R，mx²+1＞0和￢q：x∈R，x²+mx+1≤0均為真命題，
由￢p：x∈R，mx²+1＞0為真命題，得到m≥0；
由￢q：x∈R，x²+mx+1≤0為真命題，得到△=m²-4≥0，解得m≥2，或m≤-2．
綜上，m≥2．故⑤正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角三角函數(shù)的性質(zhì)、平面向量等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．