Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線的極坐標(biāo)方程為），圓的參數(shù)方程為： （其中為參數(shù)）.

（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；

（2）若橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過圓的圓心且與直線垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求.

Answer 1

【答案】（1）直線與圓相離；（2）．

【解析】試題分析：

(1)利用極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可得直線和圓的普通方程，進(jìn)而能判斷直線和圓的位置關(guān)系. (2)將橢圓的參數(shù)方程化為普通方程為，由直線： 的斜率為，可得直線的斜率為，即傾斜角為，進(jìn)而求得直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，把直線的參數(shù)方程代入，整理得 (*)，然后再利用韋達(dá)定理和弦長公式即可求出結(jié)果.

試題解析：

解： (1)將直線的極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)方程： .

將圓的參數(shù)方程化為普通方程： ，圓心為，半徑.

∴圓心到直線的距離為，

∴直線與圓相離.

(2)將橢圓的參數(shù)方程化為普通方程為，

∵直線： 的斜率為，

∴直線的斜率為，即傾斜角為，

則直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，即 (為參數(shù))，

把直線l'的參數(shù)方程代入，

整理得 (*)

由于，

故可設(shè)， 是方程(*)的兩個不等實(shí)根，則有， ，

.