Question

【題目】已知如圖1直角三角形ACB中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，將沿折起，使面面，如圖2.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連，利用勾股定理、面面垂直和線面垂直性質(zhì)可分別證得、，利用線面垂直判定定理可知面，由線面垂直性質(zhì)得到結(jié)論；

（2）以為原點(diǎn)可建立起空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.

（1）在圖中，取的中點(diǎn)，連.

在直角中，，，，

，，

又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，有，，，

由得：，

，.

將沿折起，使面面，

由點(diǎn)為的中點(diǎn)，在等邊中，，面面，

面，又面，，

又，，平面，面，

又面，.

（2）以為原點(diǎn)，分別以，，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為，，軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，，，，

在面中，設(shè)其一個法向量，

又，，

則，令，則，，，

在面中，設(shè)其一個法向量，

又，，

則，令，則，，，

，

二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.