Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱為直三棱柱）中，CA=CB，D，D₁，E分別為邊AB，A₁B₁，BC₁的中點．
（1）求證：平面ABC₁⊥平面DCC₁D₁；
（2）若D₁在平面ABC₁的射影F在邊AE上，且

AA 1

AB

=

1

2

，求直線AD₁與平面ABC₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）運用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，以及面面垂直的判定定理即可證得；
（2）由（1）的結(jié)論和D₁在平面ABC₁的射影F在邊AE上，得到F為△ABC₁的重心，運用射影定理知，D₁C₁=

2

DD₁
設(shè)DD₁=a，求出D₁F、AD₁的長，由直線與平面所成的角的定義得到∠D₁AF是所成的角，求出正弦值即可．

解答： （1）證明：∵CA=CB，D為AB的中點，∴CD⊥AB，
∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AB，∴AB⊥平面DCC₁D₁，
∵AB?平面ABC₁，∴平面ABC₁⊥平面DCC₁D₁；
（2）解：由（1）平面ABC₁⊥平面DCC₁D₁，
∴D₁在平面ABC₁上的射影F在交線C₁D上，
已知F也在AE上，且C₁D，AE為△ABC₁的中線，
∴F為△ABC₁的重心，且

C1F

=2

FD

，
∵在△DD₁C₁中，∠DD₁C₁為直角，D₁F⊥DC₁，
利用射影定理知，D₁C₁=

2

DD₁，設(shè)DD₁=a，則D₁C₁=

2

a，D₁F=

6

3

a，AD=a，AD₁=

2

a，
∴sin∠D₁AF=

6 3 a

2 a

=

3

3

，即直線AD₁與平面ABC₁所成的角的正弦值為

3

3

．

點評：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定，同時考查空間的角：直線與平面所成的角，考查基本的運算能力，屬于中檔題．