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          如圖，四棱錐的底面是正方形，，點在棱 上.
          


          


          （1）求證：平面平面；
          


          （2）當，且時，確定點的位置，即求出的值.
          


          （3）在（2）的條件下若F是PD的靠近P的一個三等分點，求二面角A-EF-D的余弦值.
          


           
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				【答案】






          （1）詳見解析；(2) ；(3). 
          


          【解析】
          


          試題分析：（1）證面面垂直，先證明線面垂直.那么證哪條線垂直哪個面？因為ABCD是正方形， .又由平面可得，所以可證平面，從而使問題得證.
          


          (2)設AC交BD=O.由（1）可得平面，所以即為三棱錐的高.由條件易得.
          


          因為，所以可求出底面的面積.又因為PD=2，所以可求出點E到邊PD的距離，從而可確定點E的位置. 
          


          (3)在本題中作二面角的平面角較麻煩，故考慮建立空間直角坐標系，然后用空間向量求解.
          


          試題解析：（1）證明：四邊形ABCD是正方形ABCD，. 
          


          平面,平面，所以.
          


          ，所以平面.
          


          因為平面，所以平面平面.
          


          (2) 設., .
          


          


          在直角三角形ADB中，DB=PD=2，則PB=
          


          中斜邊PB的高h=
          


          


          即E為PB的中點.
          


          (3) 連接OE，因為E為PB的中點，所以平面.以O為坐標原點，OC為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標系.
          


          則A(1,0,0)，  E(0,0,1) ，F(xiàn)(0,-1,)
， D(0,-1,0).
          


          平面EFD的法向量為
          


          設為面AEF的法向量。
          


          


          令y=1,則
          


          


          所以二面角A-EF-D的余弦值為
          


          考點：1、平面與平面的垂直；2、幾何體的體積；3、二面角.
          


           
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （09年朝陽區(qū)二模文）（13分）
            如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為邊的中點，與平面所成的角為，且，. 
          (Ⅰ) 求證：平面；
          （Ⅱ）求二面角的大小.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （09年山東實驗中學診斷三理）（13分）如圖：四棱錐的底面是提醒，腰，平分且與垂直，側(cè)面都垂直于底面，平面與底面成60°角
          （1）求證：；
          （2）求二面角的大小
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2011-2012學年福建省高三第八次月考文科數(shù)學試卷
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，平面,,,
          


          點是上的點，且．     

          


          （Ⅰ）求證：；
          


          （Ⅱ）求的值，使平面；
          


          （Ⅲ）當時，求三棱錐與四棱錐的體積之比．
          


          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2011-2012學年浙江省高三上學期摸底理科數(shù)學
				題型：解答題
			
          

						
          （（本小題滿分14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，、分別是棱、的中點. 
          


             （1）求證:；   （2） 求直線與平面所成的角的正切值
          


           
          


           
          


          


           
          


           
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2010-2011年四川省成都市高二3月月考數(shù)學試卷
				題型：填空題
			
          

						
          （本小題滿分12 分）
          


          如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，
          


          ，平面，，為的中點，O為底面對角線的交點；
          


          （1）求證：平面平面；  
          


          （2）求二面角的正切值。
          


          


           
          

			
          

			
          
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