Question

設(shè)函數(shù)(其中).

(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.

(Ⅱ)函數(shù)在上的最大值.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)通過“求導(dǎo)數(shù)、求駐點、討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”，本題利用“表解法”，直觀，易于理解.

(Ⅱ)求函數(shù)的最值，通過“求導(dǎo)數(shù)、求駐點、討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定函數(shù)的極值、比較區(qū)間端點函數(shù)值”等步驟，不斷地構(gòu)造函數(shù)加以轉(zhuǎn)化，是解答本題的關(guān)鍵.

試題解析：

(Ⅰ)當(dāng)時,

,

令,得,                                   2分

當(dāng)變化時,的變化如下表:

		極大值		極小值

右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.

                                                                          6分

(Ⅱ),

令,得,,                                         7分

令,則,所以在上遞增,

所以,從而,所以

所以當(dāng)時,；當(dāng)時,；

所以                    10分

令,則,

令,則

所以在上遞減,而

所以存在使得,且當(dāng)時,,       12分

當(dāng)時,,

所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

因為,,

所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時取得“”.

綜上,函數(shù)在上的最大值.                   14分

考點：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值