Question

據(jù)測(cè)算：2011年，某企業(yè)如果不搞促銷活動(dòng)，那么某一種產(chǎn)品的銷售量只能是1萬件；如果搞促銷活動(dòng)，那么該產(chǎn)品銷售量（亦即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量）m萬件與年促銷費(fèi)用x萬元（x≥0）滿足（k為常數(shù)）．已知2011年生產(chǎn)該產(chǎn)品的前期投入需要8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，企業(yè)將每件該產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（定價(jià)不考慮促銷成本）．
（1）若2011年該產(chǎn)品的銷售量不少于2萬件，則該產(chǎn)品年促銷費(fèi)用最少是多少？
（2）試將2011年該產(chǎn)品的年利潤(rùn)y（萬元）表示為年促銷費(fèi)用x（萬元）的函數(shù)，并求2011年的最大利潤(rùn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)x=0時(shí)，m=1，由，可得k=2，所以；
又，可得x≥1；即得該產(chǎn)品的年促銷費(fèi)用．
（2）每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為（元），則2011年的利潤(rùn)，求函數(shù)的最大值，即利潤(rùn)最大．
解答：解：（1）由題意可知，當(dāng)x=0時(shí)，m=1（萬件），即，得k=2，所以；
由題意，，解得x≥1；
所以，則該產(chǎn)品年促銷費(fèi)用最少是1萬元．
（2）由題意，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為（元），
所以，2011年的利潤(rùn)函數(shù)：
=4+8m-x==；
因?yàn)閤≥0，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x=3（萬元）時(shí)，利潤(rùn)最大為21萬元．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用，也考查了應(yīng)用基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）求函數(shù)最值問題，屬于中檔題．