已知函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx.
（1）當(dāng)a＝1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值；
（1）(0，
)，(1，＋∞) （2）a(lna－a－1)
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
解：(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2－3x＋lnx，定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－3＋
＝
＝
.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝.
|
x |
(0， |
|
( |
1 |
(1，＋∞) |
|
f′(x) |
＋ |
0 |
－ |
0 |
＋ |
|
f(x) |
|
極大值 |
? |
極小值 |
? |
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)，(1，＋∞)．
(2)f′(x)＝2x－(2a＋1)＋
＝
＝
，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝.
當(dāng)a≤時，f(x)在[，＋∞)上單調(diào)增，所以f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)增；
當(dāng)<a≤1時，f(x)在(0，]，[a，＋∞)上單調(diào)增，所以f(x)在區(qū)間[1，e]上單調(diào)增．
綜上，當(dāng)a≤1時，f(x)min＝f(1)＝－2a；
當(dāng)1<a<e時，
|
x |
(1，a) |
a |
(a，e) |
|
f′(x) |
－ |
0 |
＋ |
|
f(x) |
? |
a(lna－a－1) |
? |
所以f(x)min＝f(
導(dǎo)學(xué)教程高中新課標(biāo)系列答案
小學(xué)課時特訓(xùn)系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求實數(shù)m的值；
(2)作出函數(shù)f(x)的圖像；
(3)根據(jù)圖像指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(4)根據(jù)圖像寫出不等式f(x)>0的解集；
(5)求當(dāng)x∈[1,5)時函數(shù)的值域．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)與冪函數(shù)專項訓(xùn)練（河北） 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是關(guān)于x的方程f(x)－g(x)＝0的一個解，求t的值；
(2)當(dāng)0＜a＜1時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范圍；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆江西省高二下學(xué)期第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.
(1)當(dāng)a＝0時，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若任意x∈R，f(x)
g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆新課標(biāo)高三配套第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)＝
x3＋
x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.
（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＝1時，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)＝M(t)－m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間[－3，－1]上的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年湖南省、岳陽縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題
（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)
已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝
ax2＋3x.
（1）設(shè)直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點P、Q處的切線平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個不同的實根，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)；試問是否存在實數(shù)a，使得當(dāng)x∈(0,1］時，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.
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