Question

某食品廠進行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工費為t元（t為常數(shù)，且2≤t≤5），設(shè)該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為x元（25≤x≤40），根據(jù)市場調(diào)查，銷售量q與e^x成反比，當每公斤蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100公斤．
（Ⅰ）求該工廠的每日利潤y元與每公斤蘑菇的出廠價x元的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）若t=5，當每公斤蘑菇的出廠價x為多少元時，該工廠的利潤y最大，并求最大值．

Answer 1

分析：（I）由條件“日銷售量與e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成反比例”可設(shè)日銷量為

k

ex

，根據(jù)日利潤y=每件的利潤×件數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，注意實際問題自變量的范圍．
（II）先對函數(shù)進行求導，求出極值點，討論極值是否在25≤x≤40范圍內(nèi)，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)日銷量q=

k

ex

，則

k

e30

=100，∴k=100e³⁰，
∴日銷量q=

100e30

ex

∴y=

100e30(x-20-t)

ex

(25≤x≤40)．
（Ⅱ）當t=5時，y=

100e30(x-25)

ex

y′=

100e30(26-x)

ex

由y'≥0得x≤26，由y'≤0得x≥26∴y在[25，26]上單調(diào)遞增，在[26，40]上單調(diào)遞減．
∴當x=26時，y_max=100e⁴．當每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的利潤最大，最大值為100e⁴元．

點評：解決實際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)，把“問題情境”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學問題，在數(shù)學領(lǐng)域?qū)ふ疫m當?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實際問題中加以說明．