Question

在△ABC 中，已知角A、B、C 所對(duì)的三條邊分別是a、b、c，且b²=a•c
（Ⅰ）求證：0＜B≤

π

3

；
（Ⅱ）求函數(shù)y=

1+sin2B

sinB+cosB

的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用余弦定理求出cosB的值的范圍，即可證明0＜B≤

π

3

；
（Ⅱ）直接利用二倍角與平方關(guān)系，兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)y=

1+sin2B

sinB+cosB

為y=

2

sin(B+

π

4

)，結(jié)合B的范圍，求出表達(dá)式的值域．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="lbfyzf8" class="MathJye">cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，0＜B≤π，所以0＜B≤

π

3

（Ⅱ）y=

1+sin2B

sinB+cosB

=

(sinB+cosB)2

sinB+cosB

=sinB+cosB=

2

sin(B+

π

4

)，
因?yàn)?span id="pvi13za" class="MathJye">0＜B≤

π

3

所以

π

4

＜B+

π

4

≤

7π

12

，所以

2

2

＜sin(B+

π

4

)≤1，所以y的值域?yàn)?span id="1dtpqbs" class="MathJye">(1，

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理與三角函數(shù)的二倍角公式與兩角和與應(yīng)用，考查函數(shù)值域的求法，考查計(jì)算能力．