Question

附加題：是否存在一個二次函數(shù)f（x），使得對任意的正整數(shù)k，當時，都有f（x）=成立？請給出結論，并加以證明．

Answer 1

解：存在符合條件的二次函數(shù)．
設f（x）=ax²+bx+c，則當k=1，2，3時有：
f（5）=25a+5b+c=55 ①； f（55）=3025a+55a+c=5555②； f（555）=308025a+555b+c=555555③．
聯(lián)立①、②、③，解得a=，b=2，c=0．
于是，f（x）=x²+2x．
下面證明二次函數(shù)f（x）=x²+2x符合條件．
因為=5（1+10+100++10^k-1）=（10^k-1），
同理：=（10^2k-1）；
=f（（10^k-1））=+2×（10^k-1）
=（10^k-1）²+2×（10^k-1）=（10^k-1）（10^k+1）=（10^2k-1）=
∴所求的二次函數(shù) f（x）=x²+2x符合條件．
分析：先假設存在這樣的二次函數(shù)，設出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)所給的三對數(shù)值，寫出關于a，b，c的方程組，利用待定系數(shù)法得到結果，后面進行證明．
點評：本題考查二次函數(shù)的性質，考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，注意在解題過程中所給的數(shù)據(jù)雖然大，但是規(guī)律性很強，注意應用．