Question

一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾快，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P．如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)P，有下列四個(gè)命題：
1）任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)P；
2）正四棱錐的高等于正四棱柱的高的一半；
3）若往容器內(nèi)再注a升水，則容器恰好能裝滿；
4）將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過P．
其中真命題的代號(hào)為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出圖1）的水高，和幾何體的高，底面邊長(zhǎng)，
  計(jì)算水的體積，容易判斷2）、3）的正誤；
  對(duì)于4），當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，根據(jù)體積判斷它是正確的．
  對(duì)于1）根據(jù)當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí)，計(jì)算水的體積和實(shí)際不符，是錯(cuò)誤   的．

解答：解：設(shè)圖（1）水的高度h₂幾何體的高為h₁，底面邊長(zhǎng)為b   
圖（1）中水的體積為

2

3

b²h₂，
圖（2）中水的體積為b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
所以

2

3

b²h₂=b²（h₁-h₂），所以h₁=

5

3

h₂，故2）錯(cuò)誤，3）正確．
對(duì)于4），當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長(zhǎng)方體中截面上，
又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點(diǎn)，故4）正確．
對(duì)于1），假設(shè)1）正確，當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí)，
經(jīng)計(jì)算得水的體積為

25

36

b²h₂＞

2

3

b²h₂，矛盾，故1）不正確．
故答案為：3）4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間想象能力，邏輯思維能力，幾何體的體積．