Question

某人在自己的經(jīng)濟(jì)林場種植了楊樹、沙柳等植物．一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望Eξ=3，標(biāo)準(zhǔn)差σξ為

6

2

．
（1）求n，p的值
（2）若一株沙柳成活，則一年內(nèi)通過該株沙柳獲利100元，若一株沙柳不能成活，一年內(nèi)通過該株沙柳損失30元，求一年內(nèi)該人通過種植沙柳獲利的期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，這是一個n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型，其隨機(jī)變量的分布服從二項(xiàng)分布．根據(jù)教材中的結(jié)論：二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望為Eξ=np，方差等于Dξ=np（1-p），再結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)解方程組，可得n，p的值；
（2）結(jié)合公式η=100ξ-30（n-ξ）=130ξ-30n，再根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，最終可得獲利的期望為Eη=130Eξ-180
=210．

解答：解：（1）由二項(xiàng)分布的結(jié)論：Eξ=np，（σξ）²=np（1-p）
可得np=3且np(1-p)=

3

2

，
得1-p=

1

2

，從而n=6，p=

1

2

答：n，p的值分別為6和

1

2

．
（2）設(shè)η為該人通過種植沙柳所獲得的利潤，
則η=100ξ-30（6-ξ）=130ξ-180
所以：Eη=130Eξ-180=210
答：一年內(nèi)該人通過種植沙柳獲利的期望約為210．

點(diǎn)評：本題以二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型為載體，著重考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差的有關(guān)公式等知識點(diǎn)，屬于中檔題．本題運(yùn)用的公式較多，請同學(xué)們注意加強(qiáng)記憶．