Question

已知等差數(shù)列中，，，令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）求證：；

（3）通過對數(shù)列的探究，寫出“成等比數(shù)列”的一個(gè)真命題并說明理由（，）.

  說明：對于第（3）題，將根據(jù)對問題探究的完整性，給予不同的評分.

Answer 1

同下

解析:

（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由,.

解得，=3      ∴.        ……4分

(2)  

∴   ∴；8分

(3)由(2)知，    ∴，

 若成等比數(shù)列，則即．……10分

以下6分按3個(gè)層次評分

第一層次滿分3分：

例如：因?yàn)?img border=0 width=116 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/21/194221.gif">，所以只有滿足的大于1的正整數(shù)，才有可能使得成立                           ……13分

或者取具體數(shù)值探究如：

當(dāng)時(shí)，，=16，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；

當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；         ……13分

或者描述性說明，如：

因?yàn)?img border=0 width=92 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/45/194245.gif">，，所以只有當(dāng)取值較小時(shí)，才有可能使得成立                                  ……13分

第二層次3+2分：

在第一層次的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，并明確指出：當(dāng)正整數(shù)m=2,n=16時(shí)，成等比數(shù)列. 如：

不等式即，解得，所以（舍去），。當(dāng)時(shí)，，=16，符合題意；所以當(dāng)正整數(shù)m=2,n=16時(shí)，成等比數(shù)列.                        ……15分

（注：）

或者如：當(dāng)時(shí)， ，則，而，所以，此時(shí)不存在正整數(shù)m,n,且1<m<n,使得成等比數(shù)列.所以當(dāng)正整數(shù)m=2,n=16時(shí)，成等比數(shù)列.   ……15分

第三層次5+1分：

在前面探索的基礎(chǔ)上，寫出“成等比數(shù)列”的真命題：當(dāng)且僅當(dāng)正整數(shù)m=2,n=16時(shí)，成等比數(shù)列.                    ……16分

（說明：對問題探究的完整性體現(xiàn)在過程中即可）