Question

已知函數(shù)f(x)＝e^x－x(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

(Ⅰ)求f(x)的最小值；

(Ⅱ)設(shè)不等式f(x)＞－ax的解集為P，且{x|0≤}x≤2}P，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)設(shè)nN*，證明：＜．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解： 　　f(x)的導(dǎo)數(shù)(x)＝ex－1． 　　令(x)＞0，解得x＞0；令(x)＜0，解得x＜0． 　　從而f(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增． 　　所以，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最小值1．　　3分 　　(Ⅱ)解： 　　因?yàn)椴坏仁絝(x)＞ax的解集為P，且{x|0≤x≤2}P， 　　所以對(duì)于任意x∈[0，2]，不等式f(x)＞ax恒成立．　　4分 　　由f(x)＞ax，得(a＋1)x＜ex． 　　當(dāng)x＝0時(shí)，上述不等式顯然成立，故只需考慮x∈(0，2]的情況．　　5分 　　將(a＋1)x＜ex變形為a＜， 　　令g(x)＝－1，則g(x)的導(dǎo)數(shù)(x)＝， 　　令(x)＞0，解得x＞1；令(x)＜0，解得x＜1． 　　從而g(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，2)內(nèi)單調(diào)遞增． 　　所以，當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)取得最小值e－1， 　　從而實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，e－1)．　　8分 　　(Ⅲ)證明： 　　由(Ⅰ)得，對(duì)于任意x∈R，都有ex－x≥1，即1＋x≤ex．　　9分 　　令x＝(n∈N*，i＝1，2，…，n－1)，　則0＜1＜ 　　∴　(i＝1，2，…，n－1)， 　　即　(i＝1，2，…，n－1)． 　　∴ 　　∵e－(n－1)＋e－(n－2)＋…＋e－1＋1＝， 　　∴　　14分