Question

如圖，P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，E、F、G分別是線(xiàn)段PA、PD、CD的中點(diǎn)．
（I）求證：EF∥平面ABCD；
（II）求證：平面PBC∥平面EFG；
（III）求異面直線(xiàn)EG與BD所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）要證線(xiàn)面平行，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，只要證明平面外的直線(xiàn)平行于平面內(nèi)的一條直線(xiàn)即可；
（II）要證面面平行，可根據(jù)面面平行的判定定理，利用一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)即可；
（III）建立空間直角坐標(biāo)系，將求異面直線(xiàn)EG與BD所成的角的余弦值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為向量夾角的余弦值即可．

解答：證明：（I）∵E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段AP，PD的中點(diǎn)，
∴EF∥AD
∵AD?平面ABCD，EF?平面ABCD
∴EF∥平面ABCD；
（II）∵E，F(xiàn)，G分別是線(xiàn)段PA，PD，CD的中點(diǎn)，
∴FG∥PC，EF∥AD
在正方形ABCD中，∵AD∥BC，∴EF∥BC
∵PC?平面PBC，BC?平面PBC，PC∩BC=C
EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EF∩FG=F
∴平面PBC∥平面EFG；
（III）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，1），G（1，2，0）．
∴

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)，
∴cos＜

EG

，

BD

＞=

EG • BD

| EG |•| BD |

=

-2+4

6 •2 2

=

3

6

，
∴異面直線(xiàn)EG與BD所成角的大小為arccos

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題以線(xiàn)面垂直為載體，考查線(xiàn)面平行，面面平行，考查線(xiàn)線(xiàn)角，解題時(shí)正確運(yùn)用線(xiàn)面平行、面面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵．