Question

設(shè)A(－2，0)，B(2，0)，M為平面上任一點(diǎn)，若|MA|＋|MB|為定值，且cosAMB的最小值為．

(1)求M點(diǎn)軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)N(3，0)的直線(xiàn)l與軌跡C及單位圓x²＋y²＝1自右向左依次交于點(diǎn)P、Q、R、S，若|PQ|＝|RS|，則這樣的直線(xiàn)l共有幾條？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)M(x，y)，∵在△AMB中，AB＝4，|MA|＋|MB|是定值．可設(shè)|MA|＋|MB|＝2a(a＞0)． 　　∴cosAMB＝＝ 　�。�－1．　　3分 　　而|MA|＋|MB|≥2，∴|MA|·|MB|≤a2． 　　∴－1≥－1．∵cosAMB最小值為－， 　　∴－1＝－．∴a＝．　　6分 　　∴|MA|＝|MB|＝2＞|AB|．∴M點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且a＝，c＝2． 　　∴b2＝a2－c2＝2．∴曲線(xiàn)C的方程是＝1．　　8分 　　(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程是y＝k(x－3)． 　　1°當(dāng)k＝0時(shí)，顯然有|PQ|＝|RS|；此時(shí)l的方程是y＝0． 2°當(dāng)k≠0時(shí)，∵|PQ|＝|RS|，∴PS與RQ的中點(diǎn)重合，設(shè)中點(diǎn)為G，則OG⊥PS． 　　由，得(1＝3k2)x2－18k2x＝27k2－6＝0．　　11分 　　設(shè)P(x1，y1)，S(x2，y2)，則x1＝x2＝，y1＝y2＝k(x1－3)＝k(x2－3)＝． 　　∴G(，)．∴×k＝－1無(wú)解，此時(shí)l不存在， 　　綜上，存在一條直線(xiàn)l：y＝0滿(mǎn)足條件．