Question

（2012•湛江二模）如圖，五面體ABCD中，ABCD是以點(diǎn)H為中心的正方形，EF∥AB，EH丄平面ABCD，AB=2，EF=EH=1．
（1）證明：平面ADF丄平面ABCD；
（2）求五面體EF-ABCD的體積；
（3）設(shè)N為EC的中點(diǎn)，若在平面ABCD內(nèi)存在一點(diǎn)M，使MN丄平面BCE，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點(diǎn)G，連接BD、GH、GF，利用正方形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理，可證出四邊形EFGH為平行四邊形，從而EH∥FG，結(jié)合EH⊥平面ABCD，得到FG⊥平面ABCD，最后根據(jù)面面垂直的判定定理，得到平面ADF丄平面ABCD；
（2）在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)H作直線IJ∥AD，分別交AB、CD于I、J．由（1）的證明過程，可得三棱柱ADF-IJE是直三棱柱，從而得到它的體積為：S_△IJE×EF=

1

2

IJ×EH×EF=1．又因?yàn)樗睦忮FE-IJCB的體積為：

1

3

S_IJCB×EH=

2

3

，相加即得五面體EF-ABCD的體積．
（3）以G為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，建立如圖坐標(biāo)系，分別得出B、C、E、N各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)M（x，y，0），若MN⊥平面BCE，則MN⊥EB且MN⊥EC，利用向量數(shù)量積為0，聯(lián)列方程組，解之得x=-

1

2

，y=1．從而得到向量

NM

的坐標(biāo)，利用向量模的公式，可得MN的長(zhǎng)．

解答：解：（1）由題意，得：EF∥AB，且EF=

1

2

AB，
取AD的中點(diǎn)G，連接BD、GH、GF，
∵H是正方形ABCD的中心，
∴H是BD的中點(diǎn)，得到△ABD中，GH是中位線，
∴GH∥AB，GH=

1

2

AB，
∴EF∥GH且EF=GH，可得四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EH∥FG，
又∵EH⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∵FG?平面ADF，∴平面ADF丄平面ABCD；
（2）在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)H作直線IJ∥AD，分別交AB、CD于I、J．
由（1）的證明過程，得EF∥AI∥DJ，且EF=AI=DJ=1
∵EF⊥平面ADF，∴三棱柱ADF-IJE是直三棱柱
∴V_{三棱柱ADF-IJE}=S_△IJE×EF=

1

2

IJ×EH×EF=

1

2

×2×1×1=1．
又∵V_{四棱錐E-IJCB}=

1

3

S_IJCB×EH=

1

3

×

1

2

S_ABCD×EH=

2

3

．
∴五面體EF-ABCD的體積為V=V_{三棱柱ADF-IJE}+V_{四棱錐E-IJCB}=1+

2

3

=

5

3

．
（3）以G為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，建立如圖坐標(biāo)系，則
B（1，2，0），C（-1，2，0），E（0，1，1），N（-

1

2

，

3

2

，

1

2

），
設(shè)M（x，y，0），可得

EB

=(1，1，-1)，

EC

=(-1，1，-1)，

NM

=(x+

1

2

，y-

3

2

，-

1

2

)
若MN⊥平面BCE，則

EB • NM =x+ 1 2 +y- 3 2 + 1 2 =0 EC • NM =-x- 1 2 +y- 3 2 + 1 2 =0

，
解之得：x=-

1

2

，y=1．
∴向量

NM

=(0，-

1

2

，-

1

2

)，
因此MN=

|NM|

=

02+(-  1 2 )2+(- 1 2 )2

=

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)由直三棱柱和四棱錐拼接而成的五面體，通過證明面面垂直和求體積，著重考查了組合幾何體的體積公式，以及平面與平面垂直的判定等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．