Question

給出下列四個命題：
①若|

a

|+|

b

|=0，則

a

=

b

=

0

；
②在△ABC中，若

OA

+

OB

+

OC

=

0

，則O為△ABC的重心；
③若

a

，

b

是共線向量，則

a

•

b

=|

a

|•|

b

|，反之也成立；
④若

a

，

b

是非零向量，則

a

+

b

=

0

的充要條件是存在非零向量

c

，使

a

•

c

+

b

•

c

=

0

．
其中，正確命題的個數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對于①，利用實數(shù)的性質(zhì)即可進行判斷；對于②，延長AO到E，使OE=AO，交BC于F，根據(jù)圖形的對稱性，欲證明O為△ABC的重心，只須證明AO所在的直線為△ABC的邊BC上的中線即可，結(jié)合向量的幾何意義，也就是要證明

OB

+

OC

=

OE

即可．對于③，利用向量的數(shù)量積公式即可進行判斷；對于④，利用向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系進行判斷即可．

解答：證明：①若|

a

|+|

b

|=0，則|

a

|=|

b

|=0，則

a

=

b

=

0

；
正確；
對于②：如圖，延長AO到E，
使OE=AO，交BC于F，
則

OE

=-

OA

．
而由

OA

+

OB

+

OC

=0，
有

OB

+

OC

=-

OA

，∴

OB

+

OC

=

OE

，
∴四邊形OBEC為平行四邊形．
∴OE平分BC，即AO所在的直線為△ABC的邊BC上的中線．
同理可證，CO，BO所在的直線分別為AB，AC邊上的中線．∴O為△ABC的重心．正確；
對于③：若

a

，

b

是共線向量，則它們的夾角θ為0或π，則

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=±|

a

|•|

b

|，故③錯；
④若

a

，

b

是非零向量，若存在非零向量

c

，使

a

•

c

+

b

•

c

=（

a

+

b

）•

c

=0，說明向量（

a

+

b

）與

c

垂直，并不能得出

a

+

b

=

0

，故錯．
故選B．

點評：本小題主要考查三角形重心、三角形重心的應(yīng)用、向量加法的幾何意義、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．