Question

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，，對任意x、y∈（-1，1），恒有成立，又?jǐn)?shù)列a_n滿足，設(shè)．
（1）在（-1，1）內(nèi)求一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得；
（2）證明數(shù)列f（a_n）是等比數(shù)列，并求f（a_n）的表達(dá)式和的值；
（3）是否存在m∈N^*，使得對任意n∈N^*，都有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用條件把2f（）進(jìn)行轉(zhuǎn)化代入已知即可求出實(shí)數(shù)t；
（2）把f（a_n+1）利用已知條件進(jìn)行整理得到f（a_n+1）與f（a_n）之間的關(guān)系式，即可證明數(shù)列f（a_n）是等比數(shù)列，進(jìn)而求f（a_n）的表達(dá)式；利用求得的f（a_n）的表達(dá)式代入即可求出的值；
（3）利用（2）的結(jié)論求出b_n的表達(dá)式，代入，整理后把恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最值即可求出m的最小值．
解答：解：（1），
∴（3分）
（2）∵，且
∴，
即
∴f（a_n）是以-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，（2分）
∴f（a_n）=-2^n-1．（4分）
∴．（8分）
（3）由（2）得，．（1分）
若對任意n∈N^*恒成立，即，恒成立（3分）
∵n∈N^*，∴當(dāng)n=1時(shí)，有最大值4，故m＞4．（5分）
又m∈N^*，∴存在m≥5，使得對任意n∈N^*，有．
所以m_min=5．（7分）
點(diǎn)評：本題是對數(shù)列和函數(shù)知識的綜合考查．這一類型題，一般都是利用函數(shù)的性質(zhì)來研究數(shù)列的性質(zhì)，做題的關(guān)鍵是把函數(shù)的性質(zhì)理解透徹．