Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)a＜0時，證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）用定義法證明先取任意的0＜x₁＜x₂，代入解析式作差，判斷差的符號，然后由定義得出結(jié)論．
（II）不等式恒成立，即f（x）_min＞0．因此利用（I）得出的單調(diào)性，進而得出它在[1，+∞）上的最小值，或不等式恒成立?x²+x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立，再研究y=x²+x+a的單調(diào)性．最后通過解不等式2+a＞0，即可得出答案．
解答：解：（Ⅰ）
設(shè)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，…（1分）
=…（4分）
∵0＜x₁＜x₂，a＜0，
∴．
即f（x₁）＜f（x₂）…（6分）
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，…（7分）
（Ⅱ）解法1：當(dāng)a≥0，x∈[1，+∞）時，函數(shù)f（x）＞0，…（9分）
當(dāng)a＜0時，由（Ⅰ）知：函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，…（10分）
故當(dāng)x=1時，f（x）_min=2+a，…（12分）
于是當(dāng)且僅當(dāng)f（x）_min=2+a＞0，函數(shù)f（x）＞0恒成立，故-2＜a＜0．
綜上所述，所求實數(shù)a的取值范圍是（-2，+∞）…（14分）
解法2：：，x∈[1，+∞）恒成立，?x²+x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立．…（9分）
設(shè)y=x²+x+a，x∈[1，+∞）
∵，在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，…（10分）
∴當(dāng)x=1時，f（x）_min=2+a，…（12分）
于是當(dāng)且僅當(dāng)f（x）_min=2+a＞0，函數(shù)f（x）＞0恒成立，故a＞-2．
所以，所求實數(shù)a的取值范圍是（-2，+∞）．…（14分）
點評：本題考查函數(shù)恒成立問題及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性要注意證明的格式即：作取，作差，整理，判號，得出結(jié)論．