Question

設(shè)點(diǎn)P在曲線(xiàn)y=e^x上，Q在曲線(xiàn)y=lnx上，則|PQ|的最小值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：考慮到兩曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，求丨PQ丨的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線(xiàn)y=x的最小距離，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線(xiàn)上斜率為1的切線(xiàn)方程，從而得此距離．
解答：∵曲線(xiàn)y=e^x與曲線(xiàn)y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，
故可先求點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x的最近距離d
設(shè)曲線(xiàn)y=e^x上斜率為1的切線(xiàn)為y=x+b，
∵y′=e^x，由e^x=1，得x=0，故切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），即b=1
∴d==
∴丨PQ丨的最小值為2d=2×=
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程的求法，同時(shí)考查了化歸的思想方法，屬于中檔題．