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        1. (2012•樂山二模)設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,d∈R)的圖象關(guān)于原點對稱,且x=1時,f(x)取得極小值-
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          (1)求函數(shù)f(x)的解析式;
          (2)當(dāng)x∈[-1,1]時,函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩點,使得過此兩點處的切線相互垂直?試說明你的結(jié)論;
          (3)設(shè)f(x)表示的曲線為G,過點(1,-10)作曲線G的切線l,求l的方程.
          分析:(1)利用條件圖象關(guān)于原點對稱,且x=1時,f(x)取得極小值-
          2
          3
          .得到對應(yīng)的條件,然后求出a,b,c,d.
          (2)設(shè)兩點的坐標(biāo),求出對應(yīng)的導(dǎo)數(shù),利用過此兩點處的切線相互垂直,得到導(dǎo)數(shù)之積為-1,然后判斷.
          (3)設(shè)切點坐標(biāo),然后求切線方程,利用過點(1,-10),求出切點坐標(biāo),進(jìn)而可得直線方程.
          解答:解:(1)f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,d∈R)的圖象關(guān)于原點對稱,
          所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以b=d=0.
          即f(x)=ax3+cx,f'(x)=3ax2+c.
          當(dāng)x=1時,f(x)取得極小值-
          2
          3

          所以f'(1)=3a+c=0且f(1)=a+c=-
          2
          3
          ,解得a=
          1
          3
          ,c=-1

          所以f(x)=
          1
          3
          x3-x

          (2)假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象上存在兩點A(x1,y1),B(x2,y2),使得過此兩點處的切線相互垂直.
          則由f'(x)=x2-1知兩點的切線的斜率分別為k1=x12-1,k2=x22-1
          因為x1,x2∈[-1,1],所以x12-1≤0x22-1≤0,
          所以(
          x
          2
          1
          -1)(
          x
          2
          2
          -1)≤0
          ,與k1k2=(
          x
          2
          1
          -1)(
          x
          2
          2
          -1)=-1
          矛盾,
          所以假設(shè)不成立,即不存在兩點,使得過此兩點處的切線相互垂直.
          (3)設(shè)切點坐標(biāo)為P(x0,y0),則切線方程為y-y0=(
          x
          2
          0
          -1)(x-x0)
          ,
          因為過點(1,-10),所以
          y0=
          1
          3
          x
          3
          0
          -x0
          -10-y0=(
          x
          2
          0
          -1)(1-x0)
          ,
          消去y02
          x
          3
          0
          -3
          x
          2
          0
          -27=0
          ,所以(x0-3)(2
          x
          2
          0
          -3x0+9)=0

          解得x0=3,y0=9-3=6,
          即切點為(3,6).
          所以切線方程為8x-y-18=0.
          點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的問題.綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大.
          練習(xí)冊系列答案
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