Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=

3

，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（Ⅰ）點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；
（Ⅱ）當E為BC中點時，求異面直線PC與DE所成角的余弦值；
（Ⅲ）求證：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析：于（Ⅰ）由于F是PB的中點，E為BC的中點，從而EF為三角形PBC的中位線，故EF∥PC，由線面平行的判定定理可以得到EF∥平面PAC；
對于（Ⅱ）由于本題出現了三個兩兩垂直的直線AD、AP、AB，以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則P（0，0，1），C(

3

，1，0)，D(

3

，0，0)，E(

3

2

，1，0)．可以求得向量PC、DE的坐標，用向量的夾角公式計算即可；
對于（Ⅲ）在解決（Ⅱ）的基礎上，繼續(xù)計算向量PE、AF的坐標，求其內積判斷即可．

解答：解：（Ⅰ）解：當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點，∴EF∥PC．
又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）解：以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則P（0，0，1），C(

3

，1，0)，D(

3

，0，0)，E(

3

2

，1，0)．
則

PC

=(

3

，1，-1)，

DE

=(-

3

2

，1，0)cos＜

PC

，

DE

＞=

PC • DE

| PC || DE |

=

- 3 2 +1+0

5 × 7 2

=-

35

35

所以，當E為BC中點時，異面直線PC與DE所成角的余弦值為

35

35

．（9分）
（Ⅲ）證明：依據（Ⅱ）所建立坐標系，
則P（0，0，1），B（0，1，0），F(0，

1

2

，

1

2

)，D(

3

，0，0)．
設BE=x，則E（x，1，0），

PE

•

AF

=(x，1，-1)•(0，

1

2

，

1

2

)=0，
∴

PE

⊥

AF

．∴PE⊥AF．
所以，無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，異面直線垂直判定、異面直線所成角的求法，在適合建立空間坐標系的情況下，轉化為用空間坐標系中的向量法解決，較為簡捷．