Question

已知函數(shù)F（x）=|2x-t|-x³+x+1（x∈R，t為常數(shù)，t∈R）．
（Ⅰ）寫出此函數(shù)F（x）在R上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若方程F（x）-k=0恰有兩解，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)F（x）=|2x-t|-x³+x+1，去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的討論的結(jié)果，可知函數(shù)圖象的變化情況，可知方程F（x）-k=0恰有兩解，求得實(shí)數(shù)k的值．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=|2x-t|-x³+x+1=

-x3+3x+1-t x≥ t 2 -x3-x+1+t x＜ t 2

∴F'（x）=

-3x2+3 x≥ t 2 -3x2-1 x＜ t 2

由-3x²+3=0得x₁=-1，x₂=1，而-3x²-1＜0恒成立，
∴i）當(dāng)

t

2

＜-1時，F(xiàn)（x）在區(qū)間（-∞，-1）上是減函數(shù)，
在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)．
ii）當(dāng)1＞

t

2

≥-1時，F(xiàn)（x）在區(qū)間（-∞，

t

2

）上是減函數(shù)，
在區(qū)間（

t

2

，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)．
iii）當(dāng)

t

2

≥1時，F(xiàn)（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
（II）由1）可知
i）當(dāng)

t

2

＜-1時，F(xiàn)（x）在x=-1處取得極小值-1-t，
在x=1處取得極大值3-t，若方程F（x）-m=0恰有兩解，
此時m=-1-t或m=3-t．
ii）當(dāng)-1≤

t

2

＜1，F(xiàn)（x）在x=

t

2

處取值為-

t3

8

+

t

2

+1，
在x=1處取得極大值3-t，若方程F（x）-m=0恰有兩解，
此時m=-

t3

8

+

t

2

+1或m=3-t．
iii）當(dāng)

t

2

≥1時，不存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得F（x）-m=0恰有兩解．

點(diǎn)評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖象，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．本題是一道含參數(shù)的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與方程的綜合題，需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論．屬難題．