Question

設(shè)x軸、y軸正方向上的單位向量分別是

i

、

j

，坐標(biāo)平面上點(diǎn)A_n、B_n（n∈N^*）分別滿足下列兩個(gè)條件：
①

OA1

=

j

且

AnA

n+1=

i

+

j

；②

OB1

=3

i

且

BnBn+1

=(

2

3

)n ×3

i

．
（1）求

OAn

及

OBn

的坐標(biāo)；
（2）若四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n，求a_n（n∈N^*）的表達(dá)式；
（3）對(duì)于（2）中的a_n，是否存在最小的自然數(shù)M，對(duì)一切（n∈N^*）都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量加法的三角形法則的推廣，及已知條件①

OA1

=

j

且

AnA

n+1=

i

+

j

；②

OB1

=3

i

且

BnBn+1

=(

2

3

)n ×3

i

．得到

OAn

及

OBn

的坐標(biāo)；
（2）設(shè)A_nA_n+1的所在的直線交x軸于點(diǎn)p，結(jié)合圖形表示出四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積是a_n，
（3）求出an-an+1= (n-4)×(

2

3

)n-1，推廣對(duì)n的討論得到a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0．a(chǎn)₄-a₅=0，a₅-a₆0，
a₆-a₇＞0，求出數(shù)列中最大值為a4=a5=5+

8

9

，求出M．

解答：解：（1）

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

=

j

+(n-1)(

i

+

j

)=(n-1)

i

+n

j

=(n-1，n)．

OBn

=

OB1

+

B1B2

+…+

Bn-1Bn

=3

i

+(

2

3

)1×3

i

+(

2

3

)2×3

i

+…+(

2

3

)n-1×3

i

=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

×3

i

=(9-9×(

2

3

)n，0)．
（2）設(shè)A_nA_n+1的所在的直線交x軸于點(diǎn)p，則有
an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=

1

2

[10-9×(

2

3

)n+1]×(n+1)-

1

2

[10-9×(

2

3

)n]×n
=5+(n-2)×(

2

3

)n-1．
（3）an-an+1=[5+3(n-2)×(

2

3

)n-1]-[5+3(n-1)×(

2

3

)n]=3×(

2

3

)n-1[(n-2)-(n-1)×(

2

3

)]=(n-4)×(

2

3

)n-1．
∴a₁-a₂＜0，a₂-a₃＜0，a₃-a₄＜0．a(chǎn)₄-a₅=0，a₅-a₆＞0，a₆-a₇＞0，等等．
即在數(shù)列{a_n}中，a4=a5=5+

8

9

是數(shù)列的最大項(xiàng)，所以存在最小的自然數(shù)M=6，對(duì)一切n∈N^*，都有a_n＜M成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決數(shù)列的問題關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，選擇合適的方法來解決，在高考題中數(shù)列出現(xiàn)在解答題中，屬于難題．