Question

設(shè)f（x）=

a•2x-1

2x+1

是R上的奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若g（x）與f（x）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求g（x）的解析式和定義域．
（3）求解關(guān)于x的不等式g（x）＞log₂（1+x）．

Answer 1

（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)
∴f（0）=

a•20-1

20+1

=0，解之得a=1
檢驗(yàn)：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

2x-1

2x+1

，
得f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x）成立，故a=1符合題意．
（2）令y=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，可得2^x=

2

1-y

-1=

1+y

1-y

∴x=log₂

1+y

1-y

，可得f（x）=

2x-1

2x+1

的反函數(shù)為y=log₂

1+x

1-x

，
∵函數(shù)g（x）圖象與f（x）圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴函數(shù)y=g（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)，故g（x）=log₂

1+x

1-x

．
（3）g（x）＞log₂（1+x），即

1+x 1-x ＞0 1+x＞0 1+x 1-x ＞1+x

，
解這個(gè)不等式組，得0＜x＜1，原不等式的解集是（0，1）