Question

如圖，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°，G為BB₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面A₁CG⊥平面A₁GC₁；
（Ⅱ）求平面ABC與平面A₁GC所成銳二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明CG⊥平面A₁GC₁，利用面面垂直的判定定理，即可證明平面A₁CG⊥平面A₁GC₁；
（II）（法一）建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面ABC與平面A₁CG的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；
（法二）延長(zhǎng)A₁G、AB相交于P，過(guò)A作AF⊥PC交PC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接A₁F，證明∠AFA₁為平行面ABC于平面A₁CG所成二面角的平面角，即可得出結(jié)論．
解答：（I）證明：在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有A₁C₁⊥CC₁．
∵∠ACB=90°，∴A₁C₁⊥C₁B₁，即A₁C₁⊥平面C₁CBB₁，
∵CG?平面C₁CBB₁，∴A₁C₁⊥CG．┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
在矩形C₁CBB₁中，CC₁=BB₁=2BC，G為BB₁的中點(diǎn)，
CG=BC，C₁G=BC，CC₁=2BC
∴∠CGC₁=90，即CG⊥C₁G┉┉┉┉┉┉┉┉（4分）
而A₁C₁∩C₁G=C₁，
∴CG⊥平面A₁GC₁．
∴平面A₁CG⊥平面A₁GC₁．┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
（II）解：（法一）由于CC₁平面ABC，∠ACB=90°，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，設(shè)AC=BC=CC=a，則A（a，0，0），B（0，a，0）A₁（a，0，2a），G（0，a，a）．
∴=（a，0，2a），=（0，a，a）．┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
設(shè)平面A₁CG的法向量n₁=（x₁，y₁，z₁），
由得
令z₁=1，n₁=（-2，-1，1）．┉┉┉┉┉┉┉┉（9分）
又平面ABC的法向量為n₂=（0，0，1）┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）
設(shè)平面ABC與平面A₁CG所成銳二面角的平面角為θ，
則┉┉┉┉┉┉┉┉（11分）
即平面ABC與平面A₁CG所成銳二面角的平面角的余弦值為．┉┉┉（12分）
（法二）延長(zhǎng)A₁G、AB相交于P，過(guò)A作AF⊥PC交PC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接A₁F
∵AA₁⊥平面ABC，AF⊥PC，∴A₁F⊥PF
∴∠AFA₁為平面ABC與平面A₁CG所成二面角的平面角．┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
由（I）知CG⊥A₁G，∴△PGC～△PFA₁，
設(shè)AC=BC=a，∴
由，
得┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（10分）．
∴．┉┉┉┉┉（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．