Question

已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和S_n，當(dāng)n≥2時(shí)，點(diǎn)(

1

Sn-1

，

1

Sn

)在f（x）=x+2的圖象上，且S₁=

1

2

（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2（1-n）a_n求f（n）=

bn+2

(n+5)bn-1

的最大值及相應(yīng)的n的值；
（3）在（2）的條件下當(dāng)n≥2時(shí)，設(shè)Tn=

b

2 2

+

b

2 3

+…

b

2 n

．證明：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由n≥2時(shí)，點(diǎn)(

1

Sn-1

，

1

Sn

)在f（x）=x+2的圖象上，易得數(shù)列{

1

Sn

}是一個(gè)以2為公差的等差數(shù)列，求出S_n的通項(xiàng)公式后，由n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由b_n=2（1-n）a_n，結(jié)合（1）中數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，進(jìn)而得到f（n）的表達(dá)式，進(jìn)行利用基本不等式，求出f（n）的最大值及相應(yīng)的n的值；
（3）由（2）中數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用放縮法和裂項(xiàng)相消法，可得 T_n＜1-

1

n+1

＜1．

解答：解：（1）∵n≥2時(shí)，點(diǎn)(

1

Sn-1

，

1

Sn

)在f（x）=x+2的圖象上，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，（n≥2）
故數(shù)列{

1

Sn

}是一個(gè)以2為公差的等差數(shù)列
又∵S₁=

1

2

，

1

S1

=2
∴

1

Sn

=2n，即S_n=

1

2n

∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=

1

2(n-1)n

又∵n=1時(shí)，

1

2(n-1)n

無(wú)意義
故a_n=

1 2 ，n=1 1 2(n-1)n ，n≥2

（2）∵b_n=2（1-n）a_n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=2（1-n）•

1

2(n-1)n

=

1

n

∴f（n）=

bn+2

(n+5)bn-1

=

n+1

(n+2)(n+5)

=

1

(n+1)+ 4 n+1 +5

≤

1

9

當(dāng)且僅當(dāng)n+1=2，即n=1時(shí)取等
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，
Tn=

b

2 2

+

b

2 3

+…

b

2 n

=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1
即T_n＜1

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，熟練掌握數(shù)列的函數(shù)特征，掌握數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列求和的常用方法和技巧是解答的關(guān)鍵．