Question

例2：（1）設不等式2（log

1

2

x）²+9log

1

2

x+9≤0時，求f(x)=log2(

x

2

)•(log2

x

8

)的最大值和最小值．
（2）設f（x）=|lgx|，a、b是滿足f(a)=f(b)=2f(

a+b

2

)的實數(shù)，其中0＜a＜b
①求證：a＜1＜b；②求證：2＜4b-b²＜3．

Answer 1

分析：（1）、由不等式2（log

1

2

x）²+9log

1

2

x+9≤0，可知-3≤log

1

2

x≤-

3

2

，從而導出

3

2

≤log2x≤3．再由f(x)=log2(

x

2

)•(log2

x

8

)=（log₂x-1）•（log₂x-3）=（log₂x）²-4log₂x+3=（log₂x-2）²-1可以導出f（x）最大值和最小值．
（2）：①由f（x）=|lgx|，f（a）=f（b）可知|lga|=|lgb|．再由0＜a＜b，y=lgx是增函數(shù)，可知-lga=lgb，由此可證a＜1＜b．
②由f(a)=f(b)=2f(

a+b

2

)可知

1

a

=b=

(a+b)2

4

，由此可證2＜4b-b²＜3．

解答：解：（1）、∵不等式2（log

1

2

x）²+9log

1

2

x+9≤0，∴-3≤log

1

2

x≤-

3

2

，∴2

2

≤ x≤8．∴

3

2

≤log2x≤3．
∴f(x)=log2(

x

2

)•(log2

x

8

)=（log₂x-1）•（log₂x-3）=（log₂x）²-4log₂x+3=（log₂x-2）²-1．
故當log₂x=2時，f(x)=log2(

x

2

)•(log2

x

8

)的最小值是-1；當log₂x=0時，f(x)=log2(

x

2

)•(log2

x

8

)的最大值是3．
（2）、①證明：∵f（x）=|lgx|，f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|．
∵0＜a＜b，y=lgx是增函數(shù)，∴-lga=lgb，故a＜1＜b．
②證明：∵-lga=lgb，∴lg

1

a

=lgb，∴ab=1，
∵0＜a＜b，∴

a+b

2

＞

ab

=1．
∵f(a)=f(b)=2f(

a+b

2

)，∴lg

1

a

=lgb=lg(

a+b

2

)2，∴

1

a

=b=

(a+b)2

4

．
∴4b=(

1

b

+b)2=

1

b2

+b2+2，∴4b-b2= 

1

b2

+2，∵b＞1，∴2＜4b-b²＜3．

點評：注意對數(shù)的性質(zhì)運用及對數(shù)方程的解法．