Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．現(xiàn)有四個函數(shù)：①f（x）=e^x；②f（x）=x³；③f(x)=sin

π

2

x；④f（x）=lnx．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)序號有

②③

．

Answer 1

分析：根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”，只要舉出一個符合定義的區(qū)間M即可，但要說明函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”，可以用反證明法來說明．由此對四個函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答：解：①對于函數(shù)f（x）=e^x，在區(qū)間”[a，b]，是增函數(shù)，故有

ea=a eb=b

，即方程e^x=x有兩個解，這與y=e^x和y=x的圖象沒有公共點相矛盾，故①不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
②對于f（x）=x³存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=x³∈[0，1]．故②存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
③對于f（x）=sin

1

2

πx，存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=sin

1

2

πx∈[0，1]．故③存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
④對于 f（x）=lnx，若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有l(wèi)na=a，lnb=b，即方程lnx=x 有兩個解，這與y=lnx 和 y=x的圖象沒有公共點相矛盾，故④不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
故答案為②③

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的概念，在說明一個函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”時，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵．