Question

某公司生產(chǎn)的A型商品通過(guò)租賃柜臺(tái)進(jìn)入某商場(chǎng)銷(xiāo)售．第一年，商場(chǎng)為吸引廠家，決定免收該年管理費(fèi)，因此，該年A型商品定價(jià)為每件70元，年銷(xiāo)售量為11.8萬(wàn)件．第二年，商場(chǎng)開(kāi)始對(duì)該商品征收比率為p%的管理費(fèi)（即銷(xiāo)售100元要征收p元），于是該商品的定價(jià)上升為每件

70

1-p%

元，預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量將減少p萬(wàn)件．
（1）將第二年商場(chǎng)對(duì)該商品征收的管理費(fèi)y（萬(wàn)元）表示成p的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（2）要使第二年商場(chǎng)在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中收取的管理費(fèi)不少于14萬(wàn)元，則商場(chǎng)對(duì)該商品征收管理費(fèi)的比率p%的范圍是多少？
（3）第二年，商場(chǎng)在所收管理費(fèi)不少于14萬(wàn)元的前提下，要讓廠家獲得最大銷(xiāo)售金額，則p應(yīng)為多少？

Answer 1

分析：（1）依題意，先求第二年該商品年銷(xiāo)售量為（11.8-p）萬(wàn)件，年銷(xiāo)售收入

70

1-p%

（11.8-p）萬(wàn)元，從而可求第二年商場(chǎng)對(duì)該商品征收的管理費(fèi)y（萬(wàn)元）表示成p的函數(shù)；
（2）由y≥14，建立不等式

7

100-p

（118-10p）p≥14，可求商場(chǎng)收取的管理費(fèi)的范圍；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，求函數(shù)的最值，注意函數(shù)的定義域及函數(shù)為減函數(shù)可求．

解答：解：（1）依題意，第二年該商品年銷(xiāo)售量為（11.8-p）萬(wàn)件，年銷(xiāo)售收入為

70

1-p%

（11.8-p）萬(wàn)元，?
則商場(chǎng)該年對(duì)該商品征收的總管理費(fèi)為

70

1-p%

（11.8-p）p%（萬(wàn)元）．故所求函數(shù)為：y=

7

100-p

（118-10p）p．
11.8-p＞0及p＞0得定義域?yàn)?＜p＜

59

5

．
（2）由y≥14，得

7

100-p

（118-10p）p≥14．?化簡(jiǎn)得p²-12p+20≤0，即（p-2）（p-10）≤0，解得2≤p≤10．?
故當(dāng)比率在[2%，10%]內(nèi)時(shí)，商場(chǎng)收取的管理費(fèi)將不少于14萬(wàn)元．
（3）第二年，當(dāng)商場(chǎng)收取的管理費(fèi)不少于14萬(wàn)元時(shí)，
廠家的銷(xiāo)售收入為g（p）=

70

1-p%

（11.8-p）（2≤p≤10）．
∵g（p）=

70

1-p%

（11.8-p）=700（10+

882

p-100

）為減函數(shù)，?
∴g（p）_max=g（2）=700（萬(wàn)元）．?
故當(dāng)比率為2%時(shí)，廠家銷(xiāo)售金額最大，且商場(chǎng)所收管理費(fèi)又不少于14萬(wàn)元

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)，同時(shí)考查解不等式，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．