Question

已知定義在上的奇函數(shù)在處取得極值.

   （Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

　 （Ⅱ）試證：對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有成立；

  （Ⅲ）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，試求點(diǎn)P對應(yīng)平面區(qū)域的面積.

 

Answer 1

【答案】

（I）由題意，∴ ,∴,又，

        即  解得.  ∴-

 （II）∵，,

當(dāng)時，，故在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)，

∴

對于區(qū)間[－1，1]上任意兩個自變量的值，∴

   （III）設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足

因，故切線的方程為：，

∵，∴整理得.

∵若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，

∴關(guān)于方程有三個實(shí)根.

設(shè)，則，

由，得或.

由對稱性，先考慮

∵在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴函數(shù)的極值點(diǎn)為,或

∴關(guān)于方程有三個實(shí)根的充要條件是

，解得.   故時，

點(diǎn)P對應(yīng)平面區(qū)域的面積

故時，所求點(diǎn)P對應(yīng)平面區(qū)域的面積為，即8.

【解析】略