Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，E是A₁C的中點(diǎn)，ED⊥A₁C且交AC于D，．
（I）證明：B₁C₁∥平面A₁BC；
（II）證明：A₁C⊥平面EDB；
（III）求平面A₁AB與平面EDB所成的二面角的大小（僅考慮平面角為銳角的情況）．

Answer 1

證明：（I）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中B₁C₁∥BC，（1分）
又BC?平面A₁BC，且B₁C₁?平面A₁BC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC（3分）
（II）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中A₁A⊥AB，
∴Rt△A₁AB中又
∴BC=A₁B，
∴△A₁BC是等腰三角形（6分）
∵E是等腰△A₁BC底邊A₁C的中點(diǎn)，
∴A₁C⊥BE①
又依條件知A₁C⊥ED②
且ED∩BE=E③
由①，②，③得A₁C⊥平面EDB（8分）
解：（III）∵A₁A、ED?平面A₁AC，
且A₁A、ED不平行，
故延長(zhǎng)A₁A，ED后必相交，
設(shè)交點(diǎn)為F，連接EF，如圖
∴A₁-BF-E是所求的二面角（10分）
依條件易證明Rt△A₁EF≌Rt△A₁AC∵E為A₁C中點(diǎn)，
∴A為A₁F中點(diǎn)∴AF=A₁A=AB
∴∠A₁BA=∠ABF=45°
∴∠A₁FB=90°
即A₁B⊥FB（12分）
又A₁E⊥平面EFB，
∴EB⊥FB
∴∠A₁BE是所求的二面角的平面角（13分）
∵E為等腰直角三角形A₁BC底邊中點(diǎn)，
∴∠A₁BE=45°
故所求的二面角的大小為45°（14分）
分析：（I）根據(jù)三棱柱的幾何特征，可得B₁C₁∥BC，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理得到B₁C₁∥平面A₁BC；
（II）根據(jù)直三棱柱的幾何特征，又由BC=A₁B，E是等腰△A₁BC底邊A₁C的中點(diǎn)，可得A₁C⊥BE，結(jié)合線面垂直的判定定理可得A₁C⊥平面EDB；
（III）設(shè)交點(diǎn)為E，連接EF，可確定出∠A₁BE是所求的二面角的平面角，解A₁BE可得平面A₁AB與平面EDB所成的二面角的大小．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握線面關(guān)系的判定定理及二面角平面角的確定方法是解答本題的關(guān)鍵．