Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，并且焦距為2，短軸與長軸的比是

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知橢圓中有如下定理：過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任意一點(diǎn)M（x₀，y₀）的切線唯一，且方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，利用此定理求過橢圓的點(diǎn)(1，

3

2

)的切線的方程；
（3）如圖，過橢圓的右準(zhǔn)線上一點(diǎn)P，向橢圓引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，利用c=1及

b

a

=

3

2

，a²=b²+c²，解得即可．
（2）利用給出的定理代入即可；
（3）設(shè)橢圓右準(zhǔn)線上的點(diǎn)P（4，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用（2）中給出的定理可得：切線PA，PB，進(jìn)而得到直線AB的方程是x+

y0

3

y=1．點(diǎn)F（1，0）滿足此方程，即可證明A，F(xiàn)，B共線．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由c=1及

b

a

=

3

2

，又a²=b²+c²．
聯(lián)立解得a=2，b=

3

，
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由定理得過點(diǎn)A(1，

3

2

)的切線的方程為

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0．
（3）設(shè)橢圓右準(zhǔn)線上的點(diǎn)P（4，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則AP的方程為

x1x

4

+

y1y

3

=1，BP的方程為

x2x

4

+

y2y

3

=1．
又點(diǎn)P（4，y₀）在兩條切線上，∴x1+

y0

3

y1=1，x2+

y0

3

y2=1．
∴直線AB的方程是x+

y0

3

y=1．
該直線過點(diǎn)F（1，0），故A，F(xiàn)，B共線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、切線的性質(zhì)、三點(diǎn)共線等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．