Question

18、如圖（1），在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分別是線段PC、PD、BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如圖（2）所示．在圖（2）中，
（1）求證：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小．

Answer 1

分析：（1）欲證AP∥平面EFG，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AP與平面EFG內(nèi)一直線平行即可，取AD中點(diǎn)M，連接FM、MG，由條件知EF∥DC∥MG，則E、F、M、G四點(diǎn)共面，再根據(jù)三角形中位線定理知MF∥PA，滿足定理所需條件；
（2）根據(jù)CD⊥AD，CD⊥PD，則CD⊥平面PAD，根據(jù)中位線可知EF∥CD，從而EF⊥平面PAD，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠MED為二面角G-EF-D的平面角，在Rt△FDM中，求出此角即可．

解答：解：
（1）證明：如圖，取AD中點(diǎn)M，連接FM、MG，
由條件知EF∥DC∥MG，
所以E、F、M、G四點(diǎn)共面，
又由三角形中位線定理知MF∥PA，
所以AP∥平面EFG，（6分）
（2）由條件知，CD⊥AD，CD⊥PD，
所以，CD⊥平面PAD，（8分）
又EF為三角形PCD的中位線，所以EF∥CD，
所以EF⊥平面PAD，
即DP⊥EF，MF⊥EF，（10分）
所以∠MED為二面角G-EF-D的平面角，（11分）
在Rt△FDM中，易知DM=DF=1
所以∠MED=45°，
即二面角G-EF-D的大小為45°（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及二面角的度量，應(yīng)熟練記憶直線與平面平行的判定定理和求解二面角的方法，屬于基礎(chǔ)題．