Question

【題目】如圖，在中，，，.過的中點的動直線與線段交于點.將沿直線向上翻折至，使得點在平面內(nèi)的投影落在線段上.則點的軌跡長度為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立空間坐標(biāo)系，求出的軌跡，根據(jù)折疊過程中量之間的關(guān)系的，可得的取值范圍，進(jìn)而得到圓心角，從而弧長即點的軌跡長度.

因為翻折前后長度不變，所以點可以在空間中看做以為球心，AC為直徑的球面上，又因為的投影始終在上，所以點所在的面垂直于底面，

故點軌跡為垂直于底面ABC的豎直面去截球所得圓面的圓弧，這個圓弧的直徑為時，的長度（由余弦定理可得，所以此時），

如圖，以底面點B為空間原點建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，

得點，點，

設(shè)點，翻折后點的投影在軸上，

所以點縱坐標(biāo)為0，即由，，

根據(jù)空間兩點之間距離公式可得軌跡：，

又因為動點要符合空間面翻折結(jié)論：，

即，其中，

又動點N在線段AB上動，設(shè)，

故，

且，由，可計算得橫坐標(biāo)范圍為，

且點在上方，由，計算可得圓弧所在扇形圓心角為，

所以弧長為.

故答案為：.